Toán 9 Chương I: Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn – học bằng thí nghiệm theo SGK Kết nối tri thức
Trang này giúp học sinh lớp 9 và phụ huynh nắm nhanh Bài 1 (SGK Toán 9 tập một, trang 5–10), Bài 2 (trang 11–16) và Bài 3 (trang 21–23), học bằng 33 thí nghiệm: kéo điểm trên mặt phẳng toạ độ, cân thử nghiệm cặp số, vở giải hệ từng bước, bàn cộng đại số, máy tính cầm tay mô phỏng, vườn bắp cải, pha dung dịch acid, hợp kim đồng kẽm, hai xe gặp nhau, hai vòi nước. Từ khoá liên quan: phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9, hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình bằng máy tính cầm tay, toán 9 bài 2 kết nối tri thức, giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, toán 9 bài 3, bài toán làm chung làm riêng, bài toán vòi nước.
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax + by = c, trong đó a, b và c là các số đã biết (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0).
Nếu tại x = x₀ và y = y₀ ta có ax₀ + by₀ = c là một khẳng định đúng thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của phương trình.
Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm. Ví dụ x + 2y = 3 có nghiệm tổng quát (x; −0,5x + 1,5) với x ∈ ℝ tuỳ ý.
Nhận xét. Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn ax + by = c là một đường thẳng, gọi là đường thẳng ax + by = c. Đường thẳng 0x + y = −2 (tức y = −2) song song với trục hoành; đường thẳng x + 0y = 3 (tức x = 3) song song với trục tung.
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a′x + b′y = c′ được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cặp số (x₀; y₀) là một nghiệm của hệ nếu nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ. Khi đó điểm M(x₀; y₀) là giao điểm của hai đường thẳng.
Kiến thức trọng tâm Bài 2
Phương pháp thế. Bước 1: từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn. Bước 2: giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Phương pháp cộng đại số (khi hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau). Bước 1: cộng hay trừ từng vế của hai phương trình để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn. Bước 2: giải phương trình một ẩn đó, từ đó suy ra nghiệm của hệ.
Chú ý. Nếu chưa có hệ số bằng nhau hay đối nhau, nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0).
Được 0x = m (m ≠ 0): hệ vô nghiệm. Được 0x = 0 hoặc 0x + 0y = 0: hệ có vô số nghiệm, ví dụ (x; x − 2) với x ∈ ℝ.
Máy tính cầm tay: viết hệ dưới dạng a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂, bấm MODE 5 1, nhập sáu hệ số rồi bấm = để đọc nghiệm. “No-Solution”: vô nghiệm; “Infinite Sol”: vô số nghiệm.
Kiến thức trọng tâm Bài 3
Bước 1. Lập hệ phương trình: chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số; biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải hệ phương trình.
Bước 3. Trả lời: kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn, nghiệm nào không thoả mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.
Bài toán làm chung, làm riêng: làm một mình hết x ngày thì mỗi ngày làm được 1/x công việc. Khi ẩn nằm ở mẫu, đặt u = 1/x, v = 1/y để được hệ bậc nhất hai ẩn mới.
Các thí nghiệm trong Bài 1
Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Là hệ thức dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là các số đã biết và a ≠ 0 hoặc b ≠ 0. Ví dụ 4x + 3y = 5 và 0x + y = −1 là phương trình bậc nhất hai ẩn, còn 0x + 0y = 3 thì không.
Khi nào cặp số (x₀; y₀) là nghiệm của phương trình ax + by = c?
Khi ax₀ + by₀ = c là một khẳng định đúng. Ví dụ (2; −1) là nghiệm của 4x + 3y = 5 vì 4·2 + 3·(−1) = 5.
Phương trình bậc nhất hai ẩn có bao nhiêu nghiệm?
Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm. Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp các điểm biểu diễn nghiệm của nó là một đường thẳng, gọi là đường thẳng ax + by = c.
Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?
Cặp số (x₀; y₀) là nghiệm của hệ nếu nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ. Về hình học, đó là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng. Ví dụ (1; 2) là nghiệm của hệ 2x − y = 0 và x + y = 3.
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế gồm những bước nào?
Bước 1: từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn. Bước 2: giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ. Ví dụ hệ 2x − y = 3 và x + 2y = 4: y = 2x − 3, thế vào được 5x − 6 = 4 nên x = 2, y = 1.
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số thế nào?
Khi hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta trừ hoặc cộng từng vế để được phương trình một ẩn, giải nó rồi suy ra nghiệm của hệ. Nếu chưa có, nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp khác 0. Ví dụ hệ 3x + 2y = 7 và 2x − 3y = −4: nhân với 3 và 2 rồi cộng từng vế được 13x = 13, nghiệm (1; 2).
Khi nào hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm?
Khi giải mà được phương trình dạng 0x = m: nếu m ≠ 0 thì hệ vô nghiệm (hai đường thẳng song song); nếu m = 0 thì hệ có vô số nghiệm (hai đường thẳng trùng nhau). Máy tính cầm tay báo “No-Solution” hoặc “Infinite Sol”.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình gồm mấy bước?
Ba bước. Bước 1: lập hệ phương trình (chọn ẩn và đặt điều kiện, biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn, lập hệ). Bước 2: giải hệ phương trình. Bước 3: trả lời, kiểm tra nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn rồi kết luận. Ví dụ 1: hai số tự nhiên có tổng 1 006, số lớn chia số nhỏ được 2 dư 124 là 294 và 712.
Bài toán hai đội làm chung một đoạn đường giải thế nào?
Gọi x, y là số ngày mỗi đội làm một mình xong. Mỗi ngày đội I làm 1/x, đội II làm 1/y công việc. Đội I làm gấp rưỡi đội II nên 1/x = 3/2 · 1/y; làm chung 24 ngày xong nên 1/x + 1/y = 1/24. Đặt u = 1/x, v = 1/y được u = 1/40, v = 1/60, tức đội I làm 40 ngày, đội II làm 60 ngày.
Bài toán cổ “Quýt, cam mười bảy quả tươi” giải thế nào?
Gọi x là số cam, y là số quýt, ta có hệ x + y = 17 và 10x + 3y = 100. Cặp số (7; 10) là nghiệm của hệ, nên có 7 quả cam và 10 quả quýt.