Toán 7 Chương VII: Biểu thức đại số và đa thức một biến – học tương tác theo SGK Kết nối tri thức

• Biểu thức đại số gồm số, biến và các phép toán; tính giá trị biểu thức tại giá trị cho trước của biến.
• Đơn thức, đa thức một biến; bậc của đa thức, hệ số cao nhất, hệ số tự do. Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
• Cộng, trừ hai đa thức một biến: nhóm các hạng tử đồng dạng.
• Nhân hai đa thức một biến bằng phép nhân từng hạng tử; chia đa thức cho đơn thức và chia hai đa thức một biến đã sắp xếp.
• Nghiệm của đa thức một biến: giá trị của biến làm cho giá trị đa thức bằng 0.

Bài 24: Biểu thức đại số (SGK tr.22–24)

• Mở đầu: ô tô đi với vận tốc không đổi 50 km/h, quãng đường ô tô đi được trong t giờ là bao nhiêu?
• HĐ1: chỉ ra biểu thức số và biểu thức chứa chữ trong 23 + 8 · 9; 3a + 7; (3⁴ − 5) : 8; (3/x − y²) + 2
• HĐ2: viết biểu thức biểu thị chu vi hình chữ nhật có chiều rộng x (cm) và chiều dài hơn chiều rộng 3 cm
• Chú ý: khi viết biểu thức đại số không viết dấu nhân giữa các biến, giữa biến và số; không viết thừa số 1
• Chú ý: với các biến ta cũng áp dụng các quy tắc và tính chất của phép tính như đối với các số
• Luyện tập: chỉ ra các biến của các biểu thức đại số 3x² − 1 và 3a + b
• Giá trị của biểu thức đại số: thay p = 5 và q = 7 vào A = 3p − q
• Ví dụ: bác Hoà mua một túi rau 15 nghìn đồng và x kilôgam cam, mỗi kilôgam cam 40 nghìn đồng
• Vận dụng: đi ô tô 40 km/h trong x giờ rồi đi bộ 5 km/h trong y giờ, viết biểu thức tổng quãng đường
• Bài 7.1: viết biểu thức đại số biểu thị nửa tổng của x và y; tổng của x và y nhân với tích của x và y
• Bài 7.2: viết biểu thức đại số biểu thị diện tích hình thang có hai đáy a và b, chiều cao h
• Bài 7.3: tính giá trị của biểu thức 4x + 3 tại x = 5,8; y² − 2y + 1 tại y = 2; (2m + n)(m − n) tại m = 5,4 và n = 3,2
• Bài 7.4: hai máy bơm, máy thứ nhất mỗi giờ bơm 5 m³ và máy thứ hai mỗi giờ bơm 3,5 m³ nước
• Kiểm tra Bài 24 (có hình)

Bài 25: Đa thức một biến (SGK tr.25–30)

• Mở đầu: độ cao H = −5x² + 15x (mét) của vật được ném lên từ mặt đất, x là thời gian (giây); sau bao lâu vật rơi trở lại mặt đất?
• Đơn thức một biến: hệ số và bậc; cho biết hệ số và bậc của 2x⁶; −1/5x²; −8; 3²x
• Cộng, trừ, nhân đơn thức; Luyện tập 1: tính 5x³ + x³; 7/4x⁵ − 3/4x⁵; (−0,25x²) · (8x³)
• Khái niệm đa thức một biến: hạng tử; Ví dụ 1; Luyện tập 2: liệt kê các hạng tử của B = 2x⁴ − 3x² + x + 1
• Đa thức thu gọn; Ví dụ 2: thu gọn A = 6x³ − 5x² − 4x³ + 7; Luyện tập 3: thu gọn P = 2x³ − 5x² + 4x³ + 4x + 9 + x
• Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm của biến; hạng tử khuyết; Luyện tập 4: thu gọn (nếu cần) và sắp xếp A, B, C
• Bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của một đa thức: HĐ1, HĐ2, HĐ3 với P = −3x⁴ + 5x² − 2x + 1
• Ví dụ 3: tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của P = −x³ − 2x² + x³ + 4x + 5; Luyện tập 5
• Giá trị và nghiệm của một đa thức: G(x) = x² − 4; HĐ4, HĐ5
• Ví dụ 4: chứng tỏ x = −3 và x = 0 là nghiệm của A(x) = 2x² + 6x; chứng tỏ B(x) = x² + 1 không có nghiệm
• Luyện tập 6: tính F(x) = 2x² − 3x − 2 tại x = −1; 0; 1; 2 rồi tìm một nghiệm; tìm nghiệm của E(x) = x² + x
• Vận dụng: trở lại bài toán mở đầu với H(x) = −5x² + 15x: bậc, hệ số, nghiệm x = 0 và nghiệm x = 3
• Bài 7.5: tính (1/2x³) · (−4x²) và 1/2x³ − 5/2x³, tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được
• Bài 7.6: thu gọn, sắp xếp A(x) = x³ + 3/2x − 7x⁴ + 1/2x − 4x² + 9 và B(x) = x⁵ − 3x² + 8x⁴ − 5x² − x⁵ + x − 7; tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do
• Bài 7.7: thu gọn, sắp xếp P(x) = 5x³ + 2x⁴ − x² + 3x² − x³ − 2x⁴ − 4x³ và Q(x) = 3x − 4x³ + 8x² − 5x + 4x³ + 5; tính P(1), P(0), Q(−1), Q(0)
• Bài 7.8: hai máy bơm nước vào bể (22 m³/giờ và 16 m³/giờ), viết đa thức biểu thị dung tích của bể
• Bài 7.9: viết đa thức F(x) bậc 3, hệ số của x² bằng hệ số của x và bằng 2, hệ số cao nhất bằng −6 và hệ số tự do bằng 3
• Bài 7.10: x = −1/8 có phải là nghiệm của P(x) = 4x + 1/2 không; trong ba số 1; −1 và 2, số nào là nghiệm của Q(x) = x² + x − 2
• Bài 7.11: Quỳnh có 100 nghìn đồng, mua bộ dụng cụ học tập 37 nghìn đồng và một cuốn sách giá x (nghìn đồng); đa thức số tiền còn lại; giá cuốn sách khi tiêu vừa hết
• Em có biết: đa thức bậc nhất ax + b (nhị thức bậc nhất) và đa thức bậc hai ax² + bx + c (tam thức bậc hai)
• Kiểm tra Bài 25 (có hình)

Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến (SGK tr.31–33)

• Mở đầu: cộng hai biểu thức số A = 5 · 7² + 2 và B = 7² − 12 · 7 bằng tính chất các phép toán
• 1. Cộng hai đa thức một biến: P = x⁴ + 3x³ − 5x² + 7x và Q = −x³ + 4x² − 2x + 1; tìm tổng hai đa thức x³ − 5x + 2 và x³ − x² + 6x − 4
• Chú ý: tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng đa thức và cộng với đa thức không
• Luyện tập 1: cho M = 0,5x⁴ − 4x³ + 2x − 2,5 và N = 2x³ + x² + 1,5; tính tổng M + N (trình bày theo hai cách)
• Vận dụng 1: đặt tính cộng để tìm tổng của ba đa thức A = 2x³ − 5x² + x − 7; B = x² − 2x + 6; C = −x³ + 4x² − 1
• 2. Trừ hai đa thức một biến: HĐ1 và HĐ2, tìm hiệu P − Q với P = x⁴ + 3x³ − 5x² + 7x và Q = −x³ + 4x² − 2x + 1
• Luyện tập 2: cho M = 0,5x⁴ − 4x³ + 2x − 2,5 và N = 2x³ + x² + 1,5; tính hiệu M − N (trình bày theo hai cách)
• Chú ý và Vận dụng 2: cho A = x⁴ − 3x² − 2x + 1; tìm các đa thức B và C sao cho A + B = 2x⁵ + 5x³ − 2 và A − C = x³
• Bài 7.12: tìm tổng của x² − 3x + 2 và 4x³ − x² + x − 1 bằng cách nhóm các hạng tử cùng bậc
• Bài 7.13: tìm hiệu (−x³ − 5x + 2) − (3x + 8) theo cách đặt tính trừ
• Bài 7.14: cho A = 6x⁴ − 4x³ + x − 1/3 và B = −3x⁴ − 2x³ − 5x² + x + 2/3; tính A + B và A − B
• Bài 7.15: cho A = 3x⁴ − 2x³ − x + 1; B = −2x³ + 4x² + 5x và C = −3x⁴ + 2x² + 5; tính A + B + C; A − B + C và A − B − C
• Bài 7.16: Nam mua x cuốn sách khoa học (21 500 đồng), x + 8 cuốn sách tham khảo (12 500 đồng), x + 5 cuốn truyện tranh (15 000 đồng); viết các đa thức biểu thị số tiền từng loại và tổng số tiền
• Bài 7.17: mảnh đất hình chữ nhật dài 65 m có bể bơi rộng x m, dài 3x m (Hình 7.1); tìm đa thức biểu thị diện tích bể bơi, diện tích mảnh đất và diện tích phần đất xung quanh bể
• Kiểm tra Bài 26 (có hình)

Bài 27: Phép nhân đa thức một biến (SGK tr.36–38)

• Mở đầu: bài toán đoán tuổi của anh Pi
• 1. Nhân đơn thức với đa thức: HĐ1, HĐ2 và quy tắc; tính (12x³) · (−5x²) và 2x · (3x² − 8x + 1)
• Ví dụ 1 và Luyện tập 1: tính (−2x³) · (1/2x² + 3x − 5) và (−2x²) · (3x − 4x³ + 7 − x²)
• Vận dụng 1 và Thử thách nhỏ: rút gọn P(x) = 7x²(x² − 5x + 2) − 5x(x³ − 7x² + 3x), tính P(−1/2); rút gọn x³(x + 2) − x(x³ + 2³) − 2x(x² − 2²)
• 2. Nhân đa thức với đa thức: HĐ3 và quy tắc; tính (2x − 3) · (x² − 5x + 1)
• Ví dụ 2 và Chú ý: thực hiện phép nhân (x + 3) · (2x² − 3x − 5) bằng hai cách (nhân từng hạng tử; đặt tính nhân)
• Chú ý: tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân đa thức
• Luyện tập 2: tính (x³ − 2x² + x − 1)(3x − 2), trình bày lời giải theo hai cách
• Vận dụng 2: rút gọn biểu thức (x − 2)(2x³ − x² + 1) + (x − 2)x²(1 − 2x)
• Vận dụng 3: giải thích bí mật bài toán đoán tuổi của anh Pi bằng phép nhân đa thức
• Bài 7.23: thực hiện các phép nhân 6x² · (2x³ − 3x² + 5x − 4) và (−1,2x²) · (2,5x⁴ − 2x³ + x² − 1,5)
• Bài 7.24: rút gọn 4x²(5x² + 3) − 6x(3x³ − 2x + 1) − 5x³(2x − 1) và 3/2x(x² − 2/3x + 2) − 5/3x²(x + 6/5)
• Bài 7.25: thực hiện các phép nhân (x² − x) · (2x² − x − 10) và (0,2x² − 3x) · 5(x² − 7x + 3)
• Bài 7.26: tính (x² − 2x + 5) · (x − 2), từ đó suy ra kết quả của (x² − 2x + 5) · (2 − x)
• Bài 7.27: hình hộp chữ nhật có ba kích thước x; x + 1; x − 1 (cm) với x > 1; tìm đa thức biểu thị thể tích
• Bài 7.28: thực hiện các phép nhân hai đa thức 5x³ − 2x² + 4x − 4 và x³ + 3x² − 5; −2,5x⁴ + 0,5x² + 1 và 4x³ − 2x + 6
• Bài 7.29: rào mảnh vườn hình chữ nhật bằng cọc cách nhau 0,1 m; số cọc chiều dài nhiều hơn số cọc chiều rộng 20 chiếc; gọi x là số cọc chiều rộng, tìm đa thức biểu thị diện tích
• Kiểm tra Bài 27 (có hình)

Bài 28: Phép chia đa thức một biến (SGK tr.39–43)

• Mở đầu: tìm đa thức P sao cho A = B · P với A = 2x⁴ − 3x³ − 3x² + 6x − 2 và B = x² − 2
• 1. Làm quen với phép chia đa thức: phép chia hết, đa thức bị chia, đa thức chia, thương; 6x⁴ : (−2x³) = −3x
• Chia hai đơn thức: HĐ1 tìm thương 12x³ : 4x, (−2x⁴) : x⁴, 2x⁵ : 5x²; HĐ2 thương hai luỹ thừa của x; quy tắc axᵐ : bxⁿ
• Luyện tập 1: thực hiện các phép chia 3x⁷ : 1/2x⁴; (−2x) : x; 0,25x⁵ : (−5x²)
• Chia đa thức cho đơn thức: Chú ý (−6x⁵ + 7x⁴ − 6x³) : 3x³ và Luyện tập 2a (−x⁶ + 5x⁴ − 2x³) : 0,5x²
• 2. Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết: đặt tính chia A = 2x⁴ − 13x³ + 15x² + 11x − 3 cho B = x² − 4x − 3
• Luyện tập 2b: thực hiện phép chia (9x² − 4) : (3x + 2) bằng cách đặt tính chia
• Vận dụng: giải bài toán mở đầu, tìm P sao cho A = B · P với A = 2x⁴ − 3x³ − 3x² + 6x − 2, B = x² − 2
• 3. Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia có dư: HĐ3, HĐ4, HĐ5 với D = 5x³ − 3x² − x + 7 và E = x² + 1
• Luyện tập 3: tìm dư R và thương Q trong phép chia A = 3x⁴ − 6x − 5 cho B = x² + 3x − 1, rồi viết A = B · Q + R
• Thử thách nhỏ: tìm dư trong phép chia (x³ − 3x² + x − 1) cho (x² − 3x); vì sao Vuông chỉ nhìn qua cũng biết dư là x − 1
• Bài 7.30: tính 8x⁵ : 4x³; 120x⁷ : (−24x⁵); 3/4(−x)³ : 1/8x; −3,72x⁴ : (−4x²)
• Bài 7.31: thực hiện các phép chia đa thức (−5x³ + 15x² + 18x) : (−5x) và (−2x⁵ − 4x³ + 3x²) : 2x²
• Bài 7.32: thực hiện các phép chia đa thức bằng cách đặt tính chia (6x³ − 2x² − 9x + 3) : (3x − 1) và (4x⁴ + 14x³ − 21x − 9) : (2x² − 3)
• Bài 7.33: thực hiện phép chia 0,5x⁵ + 3,2x³ − 2x² cho 0,25xⁿ: a) n = 2; b) n = 3
• Bài 7.34: tìm thương Q(x) và dư R(x) trong phép chia F(x) cho G(x) rồi biểu diễn F(x) = G(x) · Q(x) + R(x)
• Bài 7.35: bạn Tâm lúng túng khi muốn tìm thương và dư trong phép chia đa thức 21x − 4 cho 3x²; em có thể giúp bạn không?
• Kiểm tra Bài 28 (có hình)

Luyện tập chung: Ví dụ 1, 2 và bài 7.36–7.41 (SGK tr.44–45)

• Luyện tập chung, Ví dụ 1: hình hộp chữ nhật có ba kích thước x; x + 1; x + 2 (x > 0): thể tích là đa thức bậc ba, diện tích toàn phần là đa thức bậc hai
• Luyện tập chung, Ví dụ 2: với giá trị nào của m (m = 0 hay m = 10) thì phép chia 3x² + 7x − 11m cho x − 5 là phép chia hết?
• Bài 7.36: rút gọn biểu thức (5x³ − 4x²) : 2x² + (3x⁴ + 6x) : 3x − x(x² − 1)
• Bài 7.37: rút gọn 2x(x + 3) − 3x²(x + 2) + x(3x² + 4x − 6) và 3x(2x² − x) − 2x²(3x + 1) + 5(x² − 1)
• Bài 7.38: tìm giá trị của x, biết 3x² − 3x(x − 2) = 36 và 5x(4x² − 2x + 1) − 2x(10x² − 5x + 2) = −36
• Bài 7.39: thực hiện các phép tính (x³ − 8) : (x − 2) và (x − 1)(x + 1)(x² + 1)
• Bài 7.40: P(x) = x²(7x − 5) − (28x⁵ − 20x⁴ − 12x³) : 4x²; vì sao Vuông tính ngay được P(5) = 15?
• Bài 7.41: tìm số b sao cho đa thức x³ − 3x² + 2x − b chia hết cho đa thức x − 3
• Kiểm tra Luyện tập chung (có hình)

Bài tập cuối chương: Bài 7.42–7.46 (SGK tr.46)

• Bài 7.42: giá cước taxi: 0,5 km đầu 8 000 đồng, mỗi km tiếp theo 11 000 đồng; đi x km phải trả bao nhiêu tiền?
• Bài 7.43: cho đa thức bậc hai F(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0); nếu a + b + c = 0 thì x = 1 là một nghiệm; áp dụng 2x² − 5x + 3
• Bài 7.44: cho A = x⁴ + x³ − 2x − 2: tìm B (A + B = x³ + 3x + 1), C (A − C = x⁵), D = (2x² − 3) · A, P (A = (x + 1) · P) và xét A = (x² + 1) · Q
• Bài 7.45: nếu P(x) = (x − 3) · Q(x) (P(x) chia hết cho x − 3) thì x = 3 là một nghiệm của P(x); giải thích
• Bài 7.46: Tròn và Vuông tranh luận: M(x) = x³ + 1 có viết được thành tổng của hai đa thức bậc hai không? Hay thành tổng của hai đa thức bậc bốn?